Es muy frecuente para comunicarnos y entendernos.
- Por ejemplo: las probabilidades de sobrevivir a una operación son del 50%.
- Otro ejemplo: un paciente que ingresa en el hospital tiene un 15% de probabilidad de padecer una infección hospitalaria.
- Ejemplo: Durante este invierno, la prevalencia de enfermedades respiratorias es del 13%, 13 de cada 100 individuos padece una enfermedad respiratoria durante el invierno.
En todos estos ejemplos se está dando la medida de ocurrencia de un evento que es incierto: sobrevivir a la operación, tener una infección hospitalaria o la ocurrencia de enfermedades respiratorias.
Se expresa mediante un número entre 0 y 1 (o en porcentajes)
En estos ejemplos, si no existe la certeza de que ocurran los hechos, existe una esperanza dimensionada y razonable, de que el hecho anunciado se vea confirmado.
Esta estimación sobre la probabilidad de ocurrencia del evento nos ayuda a tomar decisiones. Por ejemplo: si veo que hay un 15% de padecer infecciones hospitalarias, decido ir o no ir al hospital.
Cuanto más probable es que ocurra un evento, su medida de ocurrencia estará más próximo a 1 o a 100%, y cuanto menos probable, más se aproxima al cero.
Aunque el concepto es simple, ya que se usa de manera intuitiva, su definición es complicada y tiene tres vertientes:
Enfoque clásico o a priori: es el número de casos favorables dividido por el número de casos posibles. Es una probabilidad teórica. Por ejemplo: hay cuatro grupos sanguíneos, la probabilidad de que una persona sea del grupo 0, sería del 25%.
Luego tenemos la frecuencia relativa o probabilidad a posteriori, que es el valor real del suceso. Por ejemplo: ya depende de factores genéticos, si tus padres son del grupo A tienes más probabilidades de tener ese grupo sanguíneo. Hay fenómenos en los que la probabilidad a priori coincide con a posteriori, por ejemplo, en un dado hay las mismas probabilidades de que salga un número u otro.
Probabilidad subjetiva o personalística: La probabilidad mide la confianza que el individuo tiene sobre la certeza de una proposición determinada. Por ejemplo: los epidemiólogos se basan en la experiencia para afirmar que el próximo invierno, la epidemia de gripe tendrá una probabilidad del 0,0018 (180 casos por cada 100.000 habitantes). Este concepto de las probabilidades ha dado lugar al enfoque de análisis de datos estadísticos llamado “Estadística Bayesiana”.
Probabilidad objetiva Probabilidad clásica o ``a priori´´
Data del siglo XVII (Laplace, Pascal, Fermat), desarrollada para resolver problemas relacionados con los juegos de azar (dados, monedas, ruletas…). Las probabilidades se calculan con un razonamiento abstracto. (Ley de Laplace)
Ejemplo: no hay que lanzar el dado para saber que la probabilidad “a priori” de que salga el 6 es de 1/6=0,16
Definición: Si un evento puede ocurrir de N formas, las cuales se excluyen mutuamente y son igualmente probables, y si m de esos eventos poseen una característica E, la probabilidad de ocurrencia de E es igual a m/N.
Ejemplo: La probabilidad “a priori” de que salga un As en una baraja de poker (52 cartas) será:
Ejercicios: Probabilidad clásica o ``a priori´´
Ley de los grandes números
La probabilidad a priori de que salga un número en un dado es P(A)= 1/6 = 0,166 =16,6%
Inicialmente esa probabilidad real puede no cumplirse, pero si repetimos muchas veces el experimento, la frecuencia relativa de un suceso A, cualquiera, tiende a estabilizarse en torno al valor “a priori”
Ley de los grandes números
La probabilidad a priori de que salga un número en un dado es P(A)= 1/6 = 0,166 =16,6%
Inicialmente esa probabilidad real puede no cumplirse, pero si repetimos muchas veces el experimento, la frecuencia relativa de un suceso A, cualquiera, tiende a estabilizarse en torno al valor “a priori”
Probabilidad relativa o a ``posteriori´´
Definición: si un suceso es repetido un gran número de veces, y si algún evento resultante, con la característica E ocurre m veces, la frecuencia relativa de la ocurrencia E, m/n, es aproximadamente igual a la probabilidad de ocurrencia de E.
Ejemplos:
Definición: si un suceso es repetido un gran número de veces, y si algún evento resultante, con la característica E ocurre m veces, la frecuencia relativa de la ocurrencia E, m/n, es aproximadamente igual a la probabilidad de ocurrencia de E.
Ejemplos:
Evento o suceso
Conceptos fundamentales en PROBABILIDAD.
Experimento: (En Probabilidad): Determinista (no depende del azar ejemplo maceta) / Aleatorio (depende del azar ejemplo dados)
Suceso elemental: cada uno de los posibles resultados. Cara o cruz si tiro una moneda
Espacio muestral: El conjunto de los sucesos elementales, es decir todos los resultados. Se representa por E o S, también con omega mayúscula
Suceso compuesto: Cualquier subconjunto del espacio muestral. Ejemplo: números impares de un dado A = 1,3,5
Eventos complementarios: son dos resultados de un evento, siendo éstos los dos únicos resultados posibles. Es como lanzar una moneda y que salga cara o cruz. Claro, no hay más opciones, así que estos eventos son complementarios.
Ejemplos:
Ejemplo de suceso o evento: Las veces que sale cara en la moneda.
Ejemplo de evento complementario: Todo lo que no es salir cara en la moneda, o , otro ejemplo, yo llamo evento al número 6 del dado, cada vez que no salga 6 en el dado será un evento complementario.
Ejemplo de evento unión: El evento A es ser mujer y el B ser rubia. AUB sería la suma de ser mujer o la suma de ser rubia.
Ejemplo de evento intersección: A es ser mujer y B es ser rubia, A intersección B sería poseer las dos características.
Sucesos.Tipos:
Sucesos independientes: Un suceso no influye en el otro. Ej: Que me toque la lotería y que esté lloviendo.
Sucesos dependientes: Dos sucesos en el que uno influye sobre el otro. Ej. que me resbale en la calle y que esté lloviendo, por ejemplo ser mujer y sufrir cáncer de mama.
Sucesos compatibles (no son mutuamente excluyentes): tienen algún elemento en común. Pueden suceder de forma simultánea. Ej. A=obtener una puntuación par (2,4 y 6); B=obtener múltiplo de 3 (3 y 6) . (Para que dos sucesos sean compatibles tienen que tener al menos un elemento en común)
Sucesos incompatibles o excluyentes: ningún elemento en común. No pueden suceder simultáneamente. (A y B son contrarios). Ej. A=obtener par y B= obtener impar, A= hombre y B=mujer. (Dos sucesos son incompatibles cuándo no pueden surgir simultáneamente)
Reglas básicas
Teoría de la probabilidad
Las probabilidades oscilan entre 0 y 1.
La probabilidad de un suceso contrario (ejemplo probabilidad de que NO caiga 5 en un dado) es igual a 1 menos la probabilidad del suceso. P(5´)= 1- P(5)=1-⅙=⅚ =0,83 P (A´)= 1-P(A)
La probabilidad de que un evento o suceso sea seguro es 1.
La probabilidad de un suceso imposible es 0.
La unión de A y B es: si los eventos son compatibles, que en la mayoría lo son, calculamos la probabilidad de A+ probabilidad de B- intersección entre dos conjuntos. P(AUB)=P(A)+P(B)-P(A П B)
La probabilidad condicionada de un suceso A a otro de B, es decir, la probabilidad de que ocurra el suceso A si ha ocurrido el suceso B, se expresa:
Cuando una pregunta es condicionada siempre es a priori.
Teorema de Bayes
Expresa la probabilidad condicional de un evento aleatorio A dado B (probabilidad condicionada) en términos de la distribución de probabilidad condicional del evento B dado A y la distribución de probabilidad marginal de sólo A.
En términos más generales, el teorema de Bayes que vincula la probabilidad de A dado B con la probabilidad de B dado A.
Por ejemplo, sabiendo la probabilidad de tener un dolor de cabeza dado que se tiene gripe, se podría saber (si se tiene algún dato más), la probabilidad de tener gripe si se tiene un dolor de cabeza.
Ejercicio
Aplicando el teorema de Bayes en la salud
5. Distribución de probabilidad en variables discretas: Binomial y Poisson.
Distribución binomial
La distribución binomial es un modelo matemático de distribución teórica de (la normal es con variables continuas) variables discretas.
Cuando se producen situaciones en las que sólo existen dos posibilidades (cara/cruz).
El resultado obtenido en cada prueba es independiente de los resultados obtenidos anteriormente.
La probabilidad del suceso A es constante, la representamos por p, y no varía de una prueba a otra. La probabilidad de A es 1-p y la representamos por q.
El experimento consta de un número n de pruebas.
Mediante esta distribución se resuelven los problemas que plantean:
Si al hacer un experimento hay una probabilidad p de que ocurra un suceso ¿Cuál es la probabilidad de que en N experimentos el suceso ocurra X veces?
P: probabilidad de ocurrencia; q de no ocurrencia
X: número sucesos favorables
N: número total de ensayos.
Y recordar que por definición el factorial de un número 0 es igual a 1.
Otro ejemplo para resolver en casa:
Distribución de Poisson
Poisson: médico militar francés que estudia en el siglo XIX la probabilidad de que un soldado muera en el campo de batalla por golpes de un caballo. Para variables discretas. También se le llama la distribución de probabilidad de casos raros.
La distribución de Poisson es una distribución de probabilidad discreta que se aplica a las ocurrencias de algún suceso durante un intervalo determinado.
Nuestra variable aleatoria x representará el número de ocurrencias de un suceso en un intervalo determinado, el cual podrá ser tiempo, distancia, área, volumen o alguna otra unidad similar o derivada de éstas.
La probabilidad de nuestra variable aleatoria X viene dada por la siguiente expresión:
6. Distribuciones normales
Gauss descubrió en su teorema varias peculiaridades en relación a estas distribuciones. Comprobó que la media coincide con la moda que es el punto más alto y con la mediana. En todas las distribuciones si yo le sumo y le resto el valor de una desviación típica a la media de cualquier serie estadística que sigue una distribución normal, el valor de esa serie se va a encontrar en el 68,26%.
Tengo una media de una clase que es 25 años y la desviación típica es de 2 años, yo puedo decir que entre 23 y 27 años se encuentra el 68,26%.
Comprobó lo que pasaba si sumaba y restaba dos desviaciones típicas.
Con el ejemplo de antes, si la desviación típica es 2 años, tengo 21-29 años y puedo decir que entre 21-29 se encuentra el 95,45%.
Si le sumo y le resto tres desviaciones típicas: entre 19-31 se encuentra el 99,73%.
Si observo que una sigue una distribución normal se podría tipificar los valores de una normal.
Tipificación de los valores en una normal
Extrapolando aparecen los principios básicos de las distribuciones normales y podemos tipificar valores de una normal.
Si tengo que la media es 25 y la desviación es de 2, ¿cuánto tendríamos que restar a la media para tener al 95% de la muestra?
Se ha comprobado que, si yo le sumo y resto 1,95 a la media y lo multiplico por S, da el 95%: 25 +- 1,95x2
La tipificación de valores se puede realizar si…
Trabajamos con variables continuas que
- Sigue una distribución normal (TLC)
- Tiene más de 100 unidades (Ley de los Grandes Números)
La tipificación nos permite conocer si otro valor corresponde o no a esa distribución de frecuencia
Sabemos por la forma de la curva que..
La media coincide con lo más alto de la campana: 8
La desviación típica es de 2 puntos
- El 50% tiene puntuaciones >8 porque la media coincide con la mediana y deja un 50 por arriba y otro por abajo.
- El 50% tiene puntuaciones <8
- Aproximadamente el 68% puntúa entre 6 y 10.
- Media +/- 1 desviación típica: 68,26%
- Media +/-2 desviación típica: 95%
- Media +/-3 desviación típica: 99%
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